5. Die Fibonacci - Zahlen im Planetensystem

Die Größe der Exzentrizität einer Ellipse ist ein Maß für die Abweichung vom idealen Kreis. Gebilde von größerer Stabilität und Lebensdauer im inneren Planetensystem müssen sich auf Bahnen bewegen, die Kreisbahnen nahe kommen. Das trifft sowohl für die Planeten selbst, als auch für ihre Trabanten und Ringsysteme zu. Weiterhin müssen die Abstände so gestaltet sein, dass die gegenseitigen Störungen durch die Schwerkraft keine Resonanzen bilden können, die dann zum Verlassen des Sonnensystems oder zu Zusammenstößen führen würden.
Die Kreisbahn ist durch die Verwandtschaft von p mit G ein Repräsentant des Goldenen Schnittes.
Die mittleren Abstände der Planeten werden in der Astronomie auch heute noch durch die Titus -Bode'sche Reihe beschrieben, obwohl ihr keine große theoretische Bedeutung mehr zukommt.

a n = 0,4 + 0,3 * 2 n	n = -oo , 0, 1, 2, ...;        (2)
	(Merkur: n = -oo, Venus: n = 0, Erde: n = 1,.. )
	a n = mittlerer Abstand von der Sonne in
	Astronomischen Einheiten (AE) gemessen

Die Näherung dieser Reihe ist besonders für die sonnennahen Planeten recht gut.
Die Aufeinanderfolge der mittleren Sonnenabstände lässt aber auch vermuten, dass eine einfache geometrische Reihe eine Näherung sein könnte:

	a n = q * a n-1
oder
	a n = q n * a 0	n - Ordnungszahl der Planeten: Merkur = 1, Venus = 2, . . .

In welchem Bereich q liegen kann, zeigt der Gürtel der Planetoiden zwischen Mars und Jupiter. Da Jupiter durch seine große Masse die Verteilung wesentlich beeinflusst, lassen sich erste Anhaltspunkte für q finden.
Für die große Mehrzahl der Planetoiden gilt, dass ihre mittleren Bahnabstände von der Sonne (a _n-1), verglichen mit dem mittleren Bahnabstand des Jupiter (a _n ), in einem Bereich von 1/q = 0,41 bis 1/q = 0,625 liegen:

       a _n-1 = 1/q * a _n

Die Statistik zeigt ziemlich genau beim Goldenen Schnitt G = 1/q = 0,618... ein relatives Maximum. Ein Zeichen, dass in der Nähe dieses Zahlenverhältnisses die Planetoidenbahnen besonders stabil sind.
Die Titus - Bode'sche Reihe zur Berechnung der mittleren Planetenabstände von der Sonne zeigt von Merkur bis Uranus eine recht gute Anpassung. Neptun und Pluto lassen sich allerdings nicht mehr danach berechnen, die Fehler werden zu groß.
Geht man von einem der Titus -Bode'schen Reihe ähnlichen Ansatz

       a _n = a ₀ + p*q ⁿ        ( n - Ordnungszahl der Planeten: Merkur = 1, Venus = 2, . . .)        (3)

aus, so erhält man eine bessere mittlere Anpassung an die tatsächlichen Abstände. Die wegen der besseren Darstellung leicht gerundeten Ergebnisse zeigt die folgende Tabelle.

In die Optimierung einbezogene Planeten	Reihe (3) a n = a 0 + p * q n	mittlerer Fehler nach (3)	mittlerer Fehler nach Titus - Bode (2)
Merkur bis Uranus	a n=0,186+0,106*1,902 n	5,66%	2,59%
Merkur bis Neptun	a n=0,120+0,148*1,804 n	5,59%	5,81%
Merkur bis Pluto	a n=0,108+0,156*1,788 n	8,93%	15,56%

Die Ergebnisse zeigen die Tendenz für q, gegen den Kehrwert des Goldenen Schnittes 1/G zu laufen, wenn die sonnenfernen Planeten hinzugenommen werden. Bereits mit Einbeziehung des Neptun wird der mittlere relative Fehler für die einfache Reihe (3) kleiner als der Reihenansatz von Titus - Bode.
Natürlich lassen sich mit komplizierteren Ansätzen bessere Annäherungen erreichen. Denn bei genauer Betrachtung der Abweichungen von der geometrischen Reihe (3) zeigt sich, dass noch andere Schwingungen überlagert sind, die vielleicht durch die Massenverteilung auf den Planetenbahnen hervorgerufen werden.
Zusammenfassend kann gesagt werden: Die Grundstruktur der Planetenabstände im Sonnensystem lässt sich als eine Näherung an den Goldenen Schnitt interpretieren. Das trifft sowohl auf die Form der Bahn als auch auf die Abstände zu.